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Perguntas & RespostasO que é a regra do 72, um atalho para calcular o rendimento de aplicações
Trata-se de um truque rápido para estimar quanto tempo um investimento demora para dobrar o valor investido. Mas entender como ele funciona ensina algo sobre a matemática das finanças.
É um atalho matemático simples para descobrir quanto tempo uma aplicação que paga juros compostos leva para dobrar o dinheiro que você depositou. Basta dividir o número 72 pela taxa de juros. O resultado é aproximado, mas dá para o gasto. Façamos alguns testes: a poupança rende 6,17% ao ano. 72 ÷ 6,17 = 11,669… Portanto, de acordo com a regra, o investimento mais popular do Brasil demora uns onze anos e oito meses para duplicar seu cascalho.
Será que está certo? Usando uma calculadora de investimento online para verificar – ou uma planilha de Excel programada para calcular juros compostos –, você descobre que R$ 5.000 viram precisamente R$ 10.055,07 em 11,669 anos. Ou seja: “Dá para o gasto” é até ofensivo. O truque funciona superbem.
Vamos testar agora um título público atrelado à taxa Selic, pagando 13,75% mais um choro de 0,172% (portanto, exatos 13,922%). De acordo com a regra do 72, ele duplica os R$ 5.000 em 5,17 anos. A planilha de Excel, para comparar, crava R$ 9,810 para esse período. Ainda é bom, mas foi bem menos preciso que da última vez.
Isso acontece porque, quando os retornos passam de 13%, é melhor usar uma outra regra – a do 73. Que você já deve ter deduzido como funciona: mesma coisa, só que dividindo 73 pela taxa. Assim, chegamos a 5,21 anos. Que, de acordo com o Excel, transformam R$ 5.000 em R$ 9.989. Muito mais perto do alvo.
Inclusive: se sua taxa de juros estiver entre 10% e 13%, use 73. Dos 10% em diante, cada três pontos percentuais extras exigem que você adicione 1 ao 72 para a brincadeira dar certo.
Lindo, funciona. Mas por quê? Vamos lá: se você fosse realmente calcular o tempo que um investimento demora para dobrar de tamanho, sem atalhos, o primeiro passo seria relembrar o que é um logaritmo – só “log”, para os íntimos.
É fácil: dois elevado a três é igual a oito (2³ = 8), certo? Isso significa que o log de 8 na base 2 é 3 (log2 8 = 3). Um log é um jeito diferente de descrever uma potência.
O log favorito dos matemáticos é o logaritmo natural (ln). A base desse tipo de log – ou seja, o número que você eleva a alguma coisa – é o número de Euler, que é aproximadamente 2,718.
“Ah, Guru, por que eu faria o meu logaritmo com 2,718 se eu posso usar uma base simples como o 2 e ter potências muito mais fáceis de resolver (2, 4, 8, 16, 32…)?”
Motivo: o log natural tem muitas propriedades especiais – entre elas, calcular juros compostos. O número de anos que uma aplicação leva para dobrar de tamanho é igual ao logaritmo natural de dois, que é 0,693 (ou seja, o número de Euler elevado a 0,693 dá 2). Aí você pega o log natural de 2 e divide pelo log natural da sua taxa de juros mais um.
Com um detalhe: a taxa de juros, aqui, você escreve como um decimal, tipo “0,10” em vez de “10%”. Disso resulta que a soma “taxa de juros mais um” é sempre parecida para juros “normais”, abaixo de 10% ao ano: 1,10 para 10%, 1,09 para 9%, 1,08 para 8%. Aplicando a fórmula, precisamos dividir o log de 2 pelos logs de 1,10, 1,09, 1,08.
Vamos testar a fórmula: o log natural de 1,10 é 0,095. E 0,693 dividido por 0,095 dá aproximadamente 7,2. Isso significa que uma aplicação com rendimento de 10% a.a. dobra de valor a cada 7,2 anos. Ou seja: dá para substituir esse ferramental matemático todo por um singelo “72 dividido por 10”. Como o log de 1,09 é muito parecido com o de 1,10, divida 72 por 9 e você terá um bom resultado para um juro de 9% também.
É por isso que, para porcentagens em torno dos 10%, 72 é uma boa aproximação. O truque é justamente pegar o logaritmo de um juro redondinho (10%) e usá-lo para os juros próximos.
Quando você sobe para 13%, ou 16%, o logaritmo vai aumentando junto (log de 1,13, log de 1,16…), e a aproximação perde precisão. É por isso que 73 e 74 funcionam melhor nesses casos.
O primeiro registro escrito desse atalho está num livro didático de matemática do italiano Luca Pacioli publicado em 1494 – ele é considerado o pai da contabilidade.
Por que a regra do 72 funciona?
1. Se você fosse realmente calcular quanto tempo uma aplicação demora para dobrar o valor investido – sem o atalho do 72 –, o caminho seria a fórmula aqui embaixo. Vamos resolvê-la.
Anos = log 2 / log (1 + taxa de juros)
2. Esqueça os logaritmos (logs) por ora. Vamos antes lidar com a continha dentro dos parênteses. Use a taxa de juros na forma decimal em vez de porcentagem. Ou seja: 0,10 para o caso de 10%, que será nosso exemplo:
Anos = log 2 / log (1 + taxa de juros)
Anos = log 2 / log (1 + 0,10)
Anos = log 2 / log 1,10
3. Ficamos, então, com:
Anos = log 2 / log 1,10
4. Agora, precisamos dos logs de 2 e de 1,10. É só consultar uma tabela. As respostas são 0,693 e 0,095, respectivamente (no texto, explicamos o que são logs e de onde eles vêm).
Anos = 0,693 / 0,095
Anos = 7,2
5. Pronto: leva 7,2 anos para uma aplicação que paga 10% de juros duplicar o dinheiro investido. E aqui vem a magia: você chegaria no mesmo resultado se só dividisse o número 72 pela taxa de juros de 10%. Por isso, para taxas próximas de 10%, 72 é uma boa aproximação.
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